Question

13．如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，作EF∥CB，并且交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（Ⅰ）求证：△DEF∽△EFA；
（Ⅱ）如果FG=1，求EF的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圆中同弧所对圆周角相等得出∠BAD=∠BCD，结合公共角∠EFD=∠EFD，证出△DEF∽△EFA
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EF²=FA•FD，再由圆的切线长定理FG²=FD•FA，所以EF=FG=1

解答 （Ⅰ）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得$\frac{EF}{FA}=\frac{FD}{EF}$，EF²=FA•FD．
因为FG是切线，所以FG²=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）

点评 本题考查与圆有关的角、比例线段，要善于寻找有关线段的数量关系，结合相关性质、定理求解．