Question

3．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使$BC=\sqrt{3}$，若三棱锥A-BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）

• A． 7π
• B． 19π
• C． $\frac{{7\sqrt{7}}}{6}π$
• D． $\frac{{19\sqrt{19}}}{6}π$

Answer 1

分析 通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OD，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．

解答 解：△BCD中，BD=1，CD=1，BC=$\sqrt{3}$，所以∠BDC=120°，
底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，
AD是球的弦，DA=$\sqrt{3}$，∴OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴球的半径OD=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
该球的表面积为：4π×OD²=7π；
故选：A

点评 本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．