Question

3．在△ABC中，sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b+c=$\sqrt{2}$+1（c＜b），△ABC的面积为$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，则a的值为$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 根据辅助角公式求出A的大小，结合三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可．

解答 解：∵sinA+cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{2}$cos（A-45°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（A-45°）=$\frac{1}{2}$．
又0°＜A＜180°，
∴A-45°=60°，A=105°．
∵△ABC的面积为$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bcsin105°=$\frac{1}{2}$bc（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$bc=$\frac{1+\sqrt{3}}{4}$，
则bc=$\sqrt{2}$，
∵b+c=$\sqrt{2}$+1，
∴（b+c）²=（$\sqrt{2}$+1）²=3+$\sqrt{2}$．
a²=b²+c²-2bccos105°=（b+c）²-2bc-2bc×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$）=3+$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$-2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$=2+$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$，
则a=$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$，
故答案为：$\sqrt{2+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用辅助角公式结合三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键．