Question

5．已知{a_n}为公比q＞1的等比数列，${a_3}=2，{a_2}+{a_4}=\frac{20}{3}$，求{a_n}的通项式a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析 利用等比数列通项公式列出方程组求出首项及公比，由此能求出{a_n}的通项式a_n及前n项和S_n．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，则q≠0，
a₂=$\frac{a3}{q}$=$\frac{2}{q}$，a₄=a₃q=2q．
所以 $\frac{2}{q}$+2q=$\frac{20}{3}$，即3q²-10q+3=0解得q₁=$\frac{1}{3}$，q₂=3，
因为q＞1，所以q=3．
又因为a₃=2，∴${a_1}{q^2}=2$，
∴${a_1}=\frac{2}{9}$．∴${a_n}=\frac{2}{9}•{3^{n-1}}$．
故${S_n}=\frac{{{a_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{\frac{2}{9}•（1-{3^n}）}}{1-3}=\frac{1}{9}（{3^n}-1）$…（10分）

点评 本题考查{a_n}的通项式a_n及前n项和S_n，是基础 题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．