Question

若实数x，y，m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
（Ⅰ）若x-1比1远离0，求x的取值范围；
（Ⅱ）对任意两个不相等的正数a，b，证明：

a2+b2

2

比（

a+b

2

）²远离ab．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由题意得：|x-1|＞1，解之即可求得x的取值范围；
（Ⅱ）证法1：利用“x比y远离m”的定义，可分别求得|

a2+b2

2

-ab|=

a2+b2

2

-ab，|（

a+b

2

）²-ab|=（

a+b

2

）²-ab，二者作差即可证得结论成立；
证法2：问题等价于证明|

a2+b2

2

-ab|＞|(

a+b

2

)2-ab|，同理可得，需证

a2+b2

2

-ab＞（

a+b

2

）²-ab，该不等式易证，从而可得结论成立．

解答： 本题满分（12分）．
解：（Ⅰ）由题意得：|x-1|＞1…（2分）∴x-1＜-1或x-1＞1…（4分）∴x＜0或x＞2…（5分）
（Ⅱ）证法1：|

a2+b2

2

-ab|=|

(a-b)2

2

|=

a2+b2

2

-ab…（7分）
而|(

a+b

2

)2-ab|=|(

a-b

2

)2|=(

a+b

2

)2-ab，…（9分）
从而 |

a2+b2

2

-ab|-|(

a+b

2

)2-ab|=

a2+b2

2

-ab-[(

a+b

2

)2-ab]=

a2+b2-2ab

4

=

(a-b)2

4

＞0…（11分）
即|

a2+b2

2

-ab|＞|(

a+b

2

)2-ab|；命题得证．                   …（12分）
证法2：问题等价于证明|

a2+b2

2

-ab|＞|(

a+b

2

)2-ab|；  …（7分）
因为a≠b，所以

a2+b2

2

＞ab，同理

(a+b)2

2

＞ab，…（9分）
于是待证不等式变形为

a2+b2

2

-ab＞

(a+b)2

2

-ab，…（10分）
于是等价于

a2+b2-2ab

4

=

(a-b)2

4

＞0，
因为a，b是不等正数，所以该式显然成立．             …（12分）

点评：本题主要考查推理（归纳推理）与证明等基础知识．考查运算化简能力、推理论证能力．考查特殊与一般的思想、化归与转化的思想，属于中档题．