Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB．
（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；
（Ⅱ）证明：AD⊥PB．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得知一角形中位线定理推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．
（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，PA⊥AD，由EA=EB，E为BD的中点，推导出AD⊥面PAB，由此能证明AD⊥PB．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：因为E、F分别为BD、PD的中点，
所以EF∥PB…（2分）
因为EF?面AEF，PB?面AEF
所以PB∥面AEF…（5分）
（Ⅱ）证明：因为PA⊥面ABCD，
所以PA⊥AD…（7分）
因为EA=EB，所以∠ABE=∠BAE，
又因为E为BD的中点，
所以∠ADE=∠DAE，
所以2（∠BAE+∠DAE）=180°，
得∠BAE+∠DAE=90°，即BA⊥AD，…（10分）
因为PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB，
所以AD⊥PB．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．