题目内容

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
，x∈R）的图象的一个对称中心的横坐标为-
4
3
，它在y轴右侧的第一个最大值点和第一个最小值点的坐标分别为（x0，3）和（x0+8，-3）．
（1）求此函数的解析式f（x），并指出f（x）的对称轴的方程；
（2）先把f（x）沿y轴向下平移一个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
π
4
，得到函数g（x），再把g（x）图象上的所有点向右平移
π
3
个单位，得到函数h（x），若x∈[0，π]时，h（x）＞
α
1+sinx
恒成立，求实数α的取值范围．
考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的最值
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）由题意可得函数的解析式f（x）=3sin（
π
8
x+
π
6
），由
π
8
x+
π
6
=kπ+
π
2
解x可得；（2）由函数图象的变换可得h（x）=3sin
1
2
x-1，问题转化为α＜（3sin
1
2
x-1）
1+sinx
，对x∈[0，π]恒成立，而（3sin
1
2
x-1）
1+sinx
的最小值为-1，（x=0时），故而可得答案．
解答： 解：（1）由题意可得A=3，
π
ω
=x0+8-x0=8，
∴ω=
π
8
，∴f（x）=3sin（
π
8
x+φ），
∵图象的一个对称中心的横坐标为-
4
3
，
∴
π
8
×（-
4
3
）+φ=kπ，∴φ=kπ+
π
6
，k∈Z
∵|φ|≤
π
2
，∴φ=
π
6
，∴f（x）=3sin（
π
8
x+
π
6
），
由
π
8
x+
π
6
=kπ+
π
2
可得x=8k+
8
3
，
∴f（x）的对称轴的方程为x=8k+
8
3
，k∈Z；
（2）由（1）和函数图象的变换可得g（x）=3sin（
1
2
x+
π
6
）-1，
又∵g（x）图象上的所有点向右平移
π
3
个单位，得到函数h（x），
∴h（x）=3sin[
1
2
（x-
π
3
）+
π
6
]-1=3sin
1
2
x-1，
∵x∈[0，π]时，h（x）＞
α
1+sinx
恒成立，
∴α＜（3sin
1
2
x-1）
1+sinx
，对x∈[0，π]恒成立，
∵（3sin
1
2
x-1）
1+sinx
的最小值为-1，（x=0时）
∴实数α的取值范围为（-∞，-1）．
点评：本题考查三角函数图象的变换，涉及函数的恒成立，属中档题．
练习册系列答案
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A、
3
+1
B、2
3
+2
C、
3
-1
D、2
3
-2
离散型随机变量的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
1
6
1
6
1
3
 x
则x的值为（　　）
A、
1
6
B、
1
3
C、
1
2
D、
1
4
在极坐标系中，求点M (2，
 π 
6
)关于直线θ=
 π 
4
的对称点N的极坐标，并求MN的长．
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f(x)
x
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全称命题“?a∈N*，a有一个是正因数”的否定是
 
．
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（Ⅱ）对任意两个不相等的正数a，b，证明：
a2+b2
2
比（
a+b
2
）2远离ab．
求斜率为
3
4
，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．
直线l：
x=tcosα
y=1+tsinα
（t为参数，
π
4
≤α≤
π
3
）与圆ρ=2
2
sin（θ+
π
4
）（θ为参数）相交所得的弦长的取值范围是
 
．

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