题目内容
若[x]表示不大于x的最大整数，则使得[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2n]≥2007成立的正整数n的最小值是 ．
考点：对数的运算性质
专题：计算题,探究型
分析：由题目给出的定义，逐步分析得到不等式左边的规律，结合[log2(2m+1-1)]=m，尝试在m取具体值时由错位相减法求出不等式左边的和，需要求得的和小于2007，同时m+1时左边的和大于等于2007，然后计算满足使得[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2n]≥2007成立的正整数n的最小值．
解答：
解：[log21]=0，
[log22]=[log23]=1，
[log222]=[log2(22+1)]=…=[log2(23-1)]=2，
…
[log22m]=[log2(2m+1)]=…=[log2(2m+1-1)]=m．
∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2(2m+1-1)]
=0+1×2+2×22+…+m•2m=S．
当m=7时，S=1538，当m=8时，S≥2007，
∴n＞28-1=255，
当255＜n＜29-1时，[log2(29-1)]=8，
由
=58.625．
∴n＞255+58.625=313.625．
∴正整数n的最小值是314．
故答案为314．
[log22]=[log23]=1，
[log222]=[log2(22+1)]=…=[log2(23-1)]=2，
…
[log22m]=[log2(2m+1)]=…=[log2(2m+1-1)]=m．
∴[log21]+[log22]+[log23]+…+[log2(2m+1-1)]
=0+1×2+2×22+…+m•2m=S．
当m=7时，S=1538，当m=8时，S≥2007，
∴n＞28-1=255，
当255＜n＜29-1时，[log2(29-1)]=8，
由
| 2007-1538 |
| 8 |
∴n＞255+58.625=313.625．
∴正整数n的最小值是314．
故答案为314．
点评：本题考查了对数的运算性质，关键是对运算规律的探究，考查了学生的灵活处理问题的能力和进行繁杂运算的能力，是有一定难度的题目．
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