已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1.B(0.1)两点．(1)求椭圆C的方程及离心率,(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A.B．已知点A的坐标为.点 Q(0.y0)在线段AB的垂直平分线上.且$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4.求y0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B．已知点A的坐标为（-a，0），点 Q（0，y₀）在线段AB的垂直平分线上，且$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，求y₀的值．

分析（1）由题意可知：焦点在x轴上，过点A（2，0），B（0，1）两点，则a=2，b=1．c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；即可求得椭圆C的方程及离心率；
（2）设直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，中点坐标公式，求得中点M的坐标，分类，①当k=0时，点B的坐标为（2，0），由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，得y₀=±2$\sqrt{2}$．②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{2k}{1+4k2}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8k2}{1+4k2}$）．向量的数量积的坐标表示．即可求得求得y₀的值．

解答解：（1）由题意得，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，
过点A（2，0），B（0，1）两点．
∴a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
又c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）可知A（-2，0）．
设B点的坐标为（x₁，y₁），直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k（x+2）．
于是A，B两点的坐标满足方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
由方程组消去y并整理，得（1+4k²）x²+16k²x+（16k²-4）=0．
由-2x₁=$\frac{16k2-4}{1+4k2}$，得x₁=$\frac{2-8k2}{1+4k2}$．
从而y₁=$\frac{4k}{1+4k2}$．
设线段AB的中点为M，
则M的坐标为（-$\frac{8k2}{1+4k2}$，$\frac{2k}{1+4k2}$）．
以下分两种情况：
①当k=0时，点B的坐标为（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（2，-y₀）．
由$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=4，得y₀=±2$\sqrt{2}$．
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y-$\frac{2k}{1+4k2}$=-$\frac{1}{k}$（x+$\frac{8k2}{1+4k2}$）．
令x=0，解得y₀=-$\frac{6k}{1+4k2}$．
由$\overrightarrow{QA}$=（-2，-y₀），$\overrightarrow{QB}$=（x₁，y₁-y₀）．
$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=-2x₁-y₀（y₁-y₀）
=$\frac{-2?2-8k2?}{1+4k2}$+$\frac{6k}{1+4k2}$（$\frac{4k}{1+4k2}$+$\frac{6k}{1+4k2}$）
=$\frac{4?16k4+15k2-1?}{?1+4k2?2}$=4，
整理得7k²=2，故k=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$．所以y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．
综上，y₀=±2$\sqrt{2}$或y₀=±$\frac{2\sqrt{14}}{5}$．