Question

14．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，求b₁，b₂，b₃，b₄，猜想通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 方法一：代值计算，并根据数学归纳法证明即可，
方法二：根据数列的递推公式可得{b_n+$\frac{2}{3}$}是首项为-$\frac{1}{3}$，公比为4的等比数列，问题得以解决

解答 解：方法一、；a₁=1，a₂=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{11}{6}$，a₄=$\frac{5}{2}$-$\frac{6}{11}$=$\frac{43}{22}$，
b₁=-1，b₂=$\frac{1}{\frac{3}{2}-2}$=-2，b₃=$\frac{1}{\frac{11}{6}-2}$=-6，b₄=-22，
猜想b_n=-$\frac{{4}^{n-1}}{3}$-$\frac{2}{3}$，
证明：①当n=1时，b₁=-1成立，
②假设n=k时成立，即b_k=-$\frac{{4}^{k-1}}{3}$-$\frac{2}{3}$，
那么n=k+1时，
b_k+1=$\frac{1}{{a}_{k+1}-2}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}-\frac{1}{{a}_{k}}-2}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{1}{{a}_{k}}}$=$\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}-2}$=$\frac{4+2（{a}_{k}-2）}{{a}_{k}-2}$=$\frac{4}{{a}_{k}-2}$+2=4b_k+2=4（-$\frac{{4}^{k-1}}{3}$-$\frac{2}{3}$）+2=-$\frac{1}{3}$（4^k+2）=，即n=k+1时成立，
由①②可得b_n=-$\frac{{4}^{n-1}}{3}$-$\frac{2}{3}$，对于n∈N*恒成立
方法二：
∵a_n+1=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a_n+1-2=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{{a}_{n}-2}{2{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$=$\frac{4}{{a}_{n}-2}$+2，
∵a₁=1，
∴b₁=-1，
∴{b_n+$\frac{2}{3}$}是首项为-$\frac{1}{3}$，公比为4的等比数列，
∴b_n+$\frac{2}{3}$=-$\frac{1}{3}$×4^n-1，
∴b_n=-$\frac{{4}^{n-1}}{3}$-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了数列的递推公式，数学归纳法，考查计算、推理与证明的能力．