Question

3．若平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值是-1．

Answer 1

分析 把|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$两边平方，可得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，利用基本不等式得到$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值可求．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤2$\sqrt{2}$，
∴$（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}≤8$，即$4{\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤8$，得$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
又$4{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}≥2\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}•{\overrightarrow{b}}^{2}}=4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$$≥-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴$-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≤8+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥-1$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的最小值是-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用基本不等式求最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．