Question

6．若有穷数列a₁，a₂…a_n（n是正整数），满足a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁即a_i=a_n-i+1（i是正整数，且1≤i≤n），就称该数列为“对称数列”．例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”．
（1）已知数列{b_n}是项数为9的对称数列，且b₁，b₂，b₃，b₄，b₅成等差数列，b₁=2，b₄=11，试求b₆，b₇，b₈，b₉，并求前9项和s₉．
（2）若{c_n}是项数为2k-1（k≥1）的对称数列，且c_k，c_k+1…c_2k-1构成首项为31，公差为-2的等差数列，数列
{c_n}前2k-1项和为S_2k-1，则当k为何值时，S_2k-1取到最大值？最大值为多少？
（3）设{d_n}是100项的“对称数列”，其中d₅₁，d₅₂，…，d₁₀₀是首项为1，公比为2的等比数列．求{d_n}前n项的和S_n（n=1，2，…，100）．

Answer 1

分析 （1）求出{b_n}的前4项，利用对称性得出后4项；
（2）根据对称性求出S_2k-1关于k的函数，利用二次函数的性质得出S_2k-1的最大值；
（3）由对称可知{d_n}前50项为公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，讨论n与50的大小关系得出S_n．

解答 解：（1）设{b_n}前5项的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得 d=3，
∴b₆=b₄=11，b₇=b₃=2+2×3=8，b₈=b₂=2+3=5，b₉=b₁=2，
∴s₉=2（2+5+8+11+14）-14=66；                                
（2）S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k
∴${S_{2k-1}}=2[{k×31+\frac{k（k-1）}{2}×（-2）}]-31=-2{（\;k-16\;）^2}+2×{16^2}-31$，
∴当k=16时，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值为481．               
（3）${d_{51}}=1，{d_{100}}=1×{2^{49}}={2^{49}}$．
由题意得 d₁，d₂，…，d₅₀是首项为2⁴⁹，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．   
当n≤50时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=$\frac{{{2^{49}}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}={2^{50}}-{2^{50-n}}$．       
当51≤n≤100时，S_n=d₁+d₂+…+d_n=S₅₀+（d₅₁+d₅₂+…+d_n）=${2^{50}}-1+\frac{{1-{2^{n-50}}}}{1-2}={2^{50}}+{2^{n-50}}-2$
综上所述，${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{50}}-{2^{50-n}}，1≤n≤50，\;\;\;\;}\\{{2^{50}}+{2^{n-50}}-2，51≤n≤100}\end{array}}\right.$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．