Question

已知数列{a_n}是等比数列，且a₁+a₂+a₃=-6，且a₁•a₂•a₃=64，（|q|＞1）
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=（2n+1）•a_n，求数列{b_n}的前n项和的公式．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设数列{a_n}的公比为q，可得a₁=

4

q

，从而可求得q=-2，a₁=-2，故可求{a_n}的通项公式；
（2）b_n=（2n+1）（-2）ⁿ，可得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3×（-2）+5×（-2）²+7×（-2）³+9×（-2）²+…+（2n+1）（-2）ⁿ ，利用错误相加法可得S_n．

解答： 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，则有
a₁（1+q+q²）=-6     ①
a13×q³=64          ②
由②式可得a₁=

4

q

代入①式
可得q=-2或者-

1

2

（|q|＞1故舍去）
所以求得a₁=-2．
故{a_n}的通项公式a_n=a₁q^n-1=（-2）ⁿ．
（2）b_n=（2n+1）•a_n=（2n+1）（-2）ⁿ
S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=3×（-2）+5×（-2）²+7×（-2）³+9×（-2）²+…+（2n+1）（-2）ⁿ …③
（-2）×S_n=3×（-2）²+5×（-2）³+7×（-2）⁴+9×（-2）⁵+…+（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹…④
③-④得
3S_n=3×（-2）+2×（-2）²+2×（-2）³+2×（-2）⁴+2×（-2）⁵+…+2×（-2）ⁿ-（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹
=-6+2×[（-2）²+（-2）³+（-2）⁴+（-2）⁵+…（-2）ⁿ]-（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹
=-6+2×

4(1-(-2)n-1)

1+2

-（2n+1）（-2）ⁿ⁺¹
=-

10

9

-

8(-2)n-1

9

-

(2n+1)(-2)n+1

3

=-

10

9

-

(6n+5)(-2)n+1

9

故S_n=-

10

9

-

(6n+5)(-2)n+1

9

．

点评：本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，属于中档题．