Question

已知集合A={y|y=-2^x，x∈[2，3]}，B={x|x²+3x-a²-3a＞0}．
（1）当a=4时，求A∩B；
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：交集及其运算,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：集合

分析：（1）求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．
（2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当a=4时，B={x|x²+3x-a²-3a＞0}={x|x²+3x-28＞0}={x|x＞4或x＜-7}．
A={y|y=-2^x，x∈[2，3]}={y|-8＜y＜-4}，
则A∩B={x|-8＜x＜-7}．
（2）若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则A⊆B，
B={x|x²+3x-a²-3a＞0}={x|（x-a）（x+a+3）＞0}．
对应方程的两个根为x=a或x=-a-3，
①若a=-a-3，即a=-

3

2

，此时B={x|x≠-

3

2

}，满足A⊆B，
②若a＜-a-3，即a＜-

3

2

，此时B={x|x＞-a-3或x＜a}}，
若满足A⊆B，则a＞-4或-a-3＜-8，解得a＞-4或a＞5（舍去），
此时-1＜a＜-

3

2

．
③若a＞-a-3，即a＞-

3

2

，此时B={x|x＞a或x＜-a-3}}，
若满足A⊆B，则-a-3＞-4或a＜-8（舍），解得-

3

2

＜a＜1．
综上-4＜a＜1．

点评：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，注意要进行分类讨论．