Question

已知函数f（x）=sinx，将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）g（x）有下列命题，其中真命题的个数是（　　）
①函数y=f（x）•g（x）是偶函数；               
②函数y=f（x）•g（x）是周期函数；
③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（

π

2

，0）中心对称；
④函数y=f（x）•g（x）的最大值为

4 3

9

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：根据题意，求出y=f（x）•g（x）的解析式，判断：
①根据函数的奇偶性定义即可得出结论是否正确；
②根据周期函数的定义即可判断是否正确；
③根据f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）得出函数y的图象关于点（

π

2

，0）中心对称；
④利用换元法求出y的最大值即可．

解答： 解：根据题意，∵f（x）=sinx，∴g（x）=sin2x，∴y=f（x）•g（x）=sinx•sin2x；
对于①，∵f（-x）•g（-x）=sin（-x）•sin2（-x）=（-sinx）•（-sin2x）=sinxsin2x=f（x）•g（x），
∴y=f（x）•g（x）是偶函数，①正确；
对于②，∵f（2π+x）•g（2π+x）=sin（2π+x）•sin（4π+2x）=sinx•sin2x=f（x）•g（x），
∴y=f（x）•g（x）是周期函数，②正确；
对于③，∵f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=sin（

π

2

+x）sin（π+2x）=cosxsin2x
f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）=sin（

π

2

-x）sin（π-2x）=-cosxsin2x
∴f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）
∴y=f（x）•g（x）的图象关于点（

π

2

，0）中心对称，③正确；
对于④，y=f（x）•g（x）=sinxsin2x=2sin²xcosx=2（1-cos²x）cosx，
设t=cosx，t∈[-1，1]，
∴y=2t-2t³，求导得y′=2-6t²；
∴当t∈[-1，-

3

3

）时，y′＜0，函数y是减函数，
当t∈（-

3

3

，

3

3

）时，y′＞0，函数y是增函数，
当t∈（

3

3

，1]时，y′＜0，函数y是减函数；
∴当t=

3

3

时，y取得最大值是y_max=2×

3

3

-2×(

3

3

)3=

4 3

9

，④正确；
综上，正确的命题是①②③④，4个．
故选：D．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用，也考查了导数的综合应用问题，是综合题．