Question

如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=

3

，E为CD边上的点，且EC=2DE，AE与BD相交于点O，现沿AE将△ADE折起，连接DB，DC得到如图2所示的几何体．

（1）求证：AE⊥平面DOB；
（2）当平面ADE⊥平面ABCE时，求二面角A-DE-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由AB=3，AD=

3

，DE=1得Rt△ADE∽Rt△DCB，∠EAD=∠BDC=30°，∠AED=∠DBC=60°，∠DOE=90°，AE⊥OD，AE⊥OB，即得AE⊥平面DOB；
（2）以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面DAE和平面DEB的法向量，利用向量法求出二面角A-DE-B的余弦值．

解答： 解：（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=

3

，且EC=2DE，
∴DE=

1

3

DC=1，
∴

AD

DC

=

DE

CB

=

3

3

=

1

3

∠ADC=∠DCB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△DCB，
∴∠EAD=∠BDC=30°，∠AED=∠DBC=60°，
∴∠DOE=90°，
即AE⊥OD，AE⊥OB，
又OD∩OB=O，
∴AE⊥平面DOB；
（2）∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，且OD⊥AE，OB⊥AE，
∴以O点为坐标原点，建立空间直角坐标系O-

OA

，

OB

，

OD

，如图所示，
∴A（

3

2

，0，0），B（0，

3 3

2

，0），C（-

3

2

，

3

，0），
D（0，0，

3

2

），E（-

1

2

，0，0）；
∴

DE

=（-

1

2

，0，-

3

2

），

EA

=（2，0，0），

EC

（-1，

3

，0）；
设平面DEA的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n • DE =0 n • EA =0

，即

- 1 2 x- 3 2 z=0 2x=0

，
取

n1

=（0，1，0）；
同理平面PAE的法向量为

n2

=（

3

，1，-1），
∴二面角A-DE-B的余弦值为
cosθ=cos＜

n1

，

n2

＞=

0× 3 +1×1+0×(-1)

1× ( 3 )2+12+(-1)2

=

5

5

．

点评：本题考查了空间中的平行与垂直关系的证明问题，也考查了空间向量的应用问题，解题的关键是建立空间直角坐标系并写出对应点的坐标，是中档题．