Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，且满足（p-1）S_n=p²-a_n
其中P为正常数，且P≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

2-logpan

（n∈N^*），求数列{b_nb_n+1}的前n项和T_n；
（3）判断是否存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立？若存在，求出相应的M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

，即可得出；
（2）利用（1）即可得到b_n，再利用裂项求和即可得出；
（3）由（1）可得：a3n-2=p2-(3n-2)=p4-3n．．假设存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．转化为p

n(5-3n)

2

＞p-230，通过对p分类讨论即可判断出．

解答： 解：（1）当n=1时，(p-1)S1=p2-a1，化为pa1=p2，∵P为正常数，且P≠1，∴a₁=p．
当n≥2时，由（p-1）S_n=p²-a_n，(p-1)Sn-1=p2-an-1，两式相减得pa_n=a_n-1，
∵数列{a_n}的各项均是正数，

an

an-1

=

1

p

．
∴数列{a_n}是以a₁=p为首项，

1

p

为公比的等比数列，
∴an=p•(

1

p

)n-1=p^2-n．
（2）由（1）可得：bn=

1

2-lo g p2-n p

=

1

n

．∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴T_n=（1-

1

2

）+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）由（1）可得：a3n-2=p2-(3n-2)=p4-3n．．
假设存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．
则p^{1+（-2）+…+（4-3n）}＞p^2-78，化为p

n(5-3n)

2

＞p-76，（*）
①当0＜p＜1时，（*）化为

n(5-3n)

2

＜-76，化为3n²-5n-152＞0，解得n＞8，
取M=8时，使得n＞8时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．
②当p＞1时，（*）化为

n(5-3n)

2

＞-76，化为3n²-5n-152＜0，解得n＜8，
故不存在正整数M，使得n＞M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₇₈恒成立．

点评：熟练掌握利用an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

求a_n、裂项求和、等价转化、指数函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．