题目内容
已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，4），
=t1•
+t2•
．
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）若t1=a2，求
⊥
且△ABM的面积为12时a的值．
| OM |
| OA |
| OB |
（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；
（2）若t1=a2，求
| OM |
| AB |
考点：充要条件,平面向量的基本定理及其意义,平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：（1）由向量的坐标运算可得
=（4t2，2t1+4t2），进而可得
，解之可得；（2）把t1=a2，代入可得
坐标，再由
•
=0，可得t2=-
a2，所以
=（-
a2，
a2），再由面积为12可得关于a的方程，解之可得．
| OM |
|
| OM |
| OM |
| AB |
| 1 |
| 6 |
| OM |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：
解：（1）因为O为坐标原点，A（0，2），B（4，4），
=t1•
+t2•
，
所以
=t1（0，2）+t2（4，4）=（4t2，2t1+4t2），
当点M在第二象限或第三象限时，有
，解得
，
故点M在第二象限或第三象限的充要条件为t2＜0且t1+2t2≠0；
（2）若t1=a2，得
=（4t2，2a2+4t2），
=
-
=（4，2），
又
⊥
，所以
•
=0，即4×4t2+2（2a2+4t2）=0，
解得t2=-
a2，所以
=（-
a2，
a2），
又|
|=2
，直线AB的方程为x-2y+4=0，
所以点M到直线AB的距离d=
又△ABM的面积为12，所以
•2
•
=12，
解得a=±
，故所求的a的值为±
| OM |
| OA |
| OB |
所以
| OM |
当点M在第二象限或第三象限时，有
|
|
故点M在第二象限或第三象限的充要条件为t2＜0且t1+2t2≠0；
（2）若t1=a2，得
| OM |
| AB |
| OB |
| OA |
又
| OM |
| AB |
| OM |
| AB |
解得t2=-
| 1 |
| 6 |
| OM |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
又|
| AB |
| 5 |
所以点M到直线AB的距离d=
|-
| ||||
|
又△ABM的面积为12，所以
| 1 |
| 2 |
| 5 |
|-
| ||||
|
解得a=±
2
| ||
| 5 |
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查平面向量的运算与数量积的运算，属基础题．
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设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z=3x-y的取值范围是（ ）
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C、[-
| ||||
D、[
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