Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁+a₂=2(

1

a1

+

1

a2

)，a3+a4=32(

1

a3

+

1

a4

)．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n²+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式化简已知的两个等式，得到关于首项和公比的方程组，根据题意求出方程组的解，得首项和公比的值，再写出等比数列的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的通项公式代入b_n=a_n²+log₂a_n中，化简得到数列{b_n}的通项公式，分别根据等比数列及等差数列的前n项和的公式即可求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，且a₁＞0，q＞0，则a_n=a₁q^n-1，
由已知得：

a1+a1q=2( 1 a1 + 1 a1q ) a1q2+a1q3=32( 1 a1q2 + 1 a1q3 )

，化简得

a12q=2 a12q5=32

，
又∵a₁＞0，q＞0，解得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1），
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=

1-4n

1-4

+

n(n-1)

2

=

4n-1

3

+

n(n-1)

2

．

点评：本题考查了学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．