Question

已知实数x，y满足不等式

2x-y≥0 x+y-4≥0 x≤3

，则

2x3+y3

x2y

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，设目标函数为z=

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，通过换元法设t=

y

x

，则利用导数求函数的最值．

解答： 解：由条件知可行域是由点（3，6），（3，1），（

4

3

，

8

3

），为顶点组成的三角形及其内部，
设z=

2x3+y3

x2y

=

2x

y

+(

y

x

)2，其中(

y

x

)min=

1

3

，(

y

x

)max=2，
设t=

y

x

，则z=f（t）=t2+

2

t

，∴f'（t）=2t-

2

t2

=

2(t3-1)

t2

，其中t∈[

1

3

，2]，
当

1

3

≤t＜1时，f'（t）＞0，函数f（t）单调递增，当1＜t≤2时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减，∴当t=1时，f（t）_min=f（1）=3．
又f(

1

3

)=

55

9

，f(2)=5，故f（t） max=

55

9

，即所求取值范围是[3，

55

9

]．
故答案为：[3，

55

9

]．

点评：本题主要考查线性规划的应用，注意本题不能直接将三点坐标代入目标函数求其取值范围，否则容易出错．