Question

设函数f（x）=a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+α_n•sin（x+α_n），其中α_i（i=1，2，…，n，n∈N^*，n≥2）为已知实常数，x∈R，则下列命题中错误的是（　　）

• A、若f（0）=f（

  π

  2

  ）=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立
• B、若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数
• C、若f（

  π

  2

  ）=0，则函数f（x）为偶函数
• D、当f²（0）+f²（

  π

  2

  ）≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=2kπ（k∈Z）

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：A．由若f（0）=f（

π

2

）=0，证明函数f（x）既是奇函数又是偶函数即可得到f（0）=0；
B．根据奇函数的定义即可得到结论；
C．根据偶函数的定义进行判断即可得到结论；
D．根据f（x₁）=f（x₂）=0，得（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n），故可得结论．

解答： 解答：解：A．若f（0）=0，则f（0）=a₁•sin（α₁）+a₂•sin（α₂）+…+a_n•sin（α_n）=0，
则f（-x）+f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）+a₁•sin（x+α₁）+a₂•sin（x+α₂）+…+a_n•sin（x+α_n）
=cosx[a₁•sinα₁+a₂•sinα₂+…+a_n•sinα_n]=0，∴函数f（x）为奇函数；
若f（

π

2

）=0，则f（

π

2

）=-a₁•cosα₁-a₂•cosα₂+…-a_n•cosα_n=0，
∴f（-x）-f（x）=a₁•sin（-x+α₁）+a₂•sin（-x+α₂）+…+a_n•sin（-x+α_n）-a₁•sin（x+α₁）-a₂•sin（x+α₂）-…-a_n•sin（x+α_n）
=sinx[a₁•cosα₁+a₂•cosα₂+…+a_n•cosα_n]=0，∴函数f（x）为偶函数；
则若f（0）=f（

π

2

）=0，则函数f（x）为既是奇函数又是偶函数，即f（x）=0，
∴f（x）=0对任意实数x恒成立；故A正确．
B．由A的证明过程可知当f（0）=0时，函数f（x）为奇函数，正确．
C．由A的证明过程可知当f（

π

2

）=0时，函数f（x）为偶函数，正确．
D当f²（0）+f²（

π

2

）≠0时，若f（x₁）=f（x₂）=0，
则f（x₁）=a₁•sin（x₁+α₁）+a₂•sin（x₁+α₂）+…+a_n•sin（x₁+α_n）=a₁•sin（x₂+α₁）+a₂•sin（x₂+α₂）+…+a_n•sin（x₂+α_n）=0，
∴（sinx₁-sinx₂）（a₁cosα₁+…+a_ncosα_n）+（cosx₁-cosx₂）（a₁sinα₁+…+a_nsinα_n）=0，
∴sinx₁-sinx₂=0
可得x₁-x₂=kπ（k∈Z）．∴D错误．
故选：D．

点评：点评：本题的考点是数列与三角函数的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，运算量较大，有一定的难度．