Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x）（a＞0，a≠1）
（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域并判断其奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用对数函数的性质求函数的定义域，利用函数奇偶性的定义去判断．
（Ⅱ）需要分类讨论，当a＞1和0＜a＜1时，根据函数的单调性得到不等式，解得即可

解答： 解：（1）要使函数有意义，则有

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1．
所以函数的定义域为（-1，1）．
因为函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称．
所以f（-x）=log_a（1-x）+log_a（1+x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）∵f（x）+g（x）＜0，
∴log_a（1-x²）＜0=log_a1，
当a＞1时，函数y=log_ax为增函数，故1-x²＜1，解得x≠0，
∴x的取值范围为（-1，0）∪（0，1）
当0＜a＜1时，函数y=log_ax为减函数，故1-x²＞1，解集为空集
综上所述x的取值范围为（-1，0）∪（0，1）

点评：本题主要考查了对数函数的定义和函数的奇偶性和单调性以及不等式的解法，属于基础题