Question

已知函数f（x）=ax-3，g（x）=bx^-1+cx^-2（a，b∈R）且g（-

1

2

）-g（1）=f（0）．
（1）试求b，c所满足的关系式；
（2）若b=0，集合A={x|f（x）≥x|x-a|g（x）}，试求集合A．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论

分析：（1）由g（-

1

2

）-g（1）=f（0）得出b，c的关系；
（2）运用分类讨论思想，对实数a进行讨论，较两方程根的大小，结合二次函数图象，求出集合A．

解答： 解：（1）由g（-

1

2

）-g（1）=f（0），得-2b+4c-（b+c）=-3，即b，c所满足的关系式b-c-1=0；
（2）当b=0时，c=-1，∴g(x)=-

1

x2

，f（x）≥x|x-a|g（x）
?ax-3≥

-|x-a|

x

?

|x-a|＞3x-ax2，x＞0 |x-a|＜3x-ax2，x＜0

，

①当a=0时原不等式等价于-3≥

-|x|

x

 此时A=∅，
②当a＞0时，根据x-a=3x-ax²解得x1，2=

1± 1+a2

a

（要根据a的正负区别两根大小，即左右）
a-x=3x-ax²解得x3，4=

2± 4-a2

a

，
∴当a∈（0，

3

]时，A=（0，

1- 1+a2

a

]∪[

1+ 1+a2

a

，+∞），
当a∈（

3

，2）时，A=（0，

2- 4-a2

a

]∪[

2+ 4-a2

a

，+∞），
当a∈[2，+∞）时，A=（0，+∞）
③当a＜0时
当a∈[-

3

，0）时，A=（0，

1- 1+a2

a

]∪（-∞，

1+ 1+a2

a

]，
当a∈（-∞，-

3

），A=（0，

1- 1+a2

a

]∪（-∞，

1+ 1+a2

a

]．

点评：本题考查了，等价转换思想，分类讨论思想，二次函数．属于中档题．