题目内容
设f（x）是二次函数，其图象过点（1，0），且f′（1）=2，
f（x）dx=0，求f（x）的解析式．
| ∫ | 1 0 |
考点：定积分,二次函数的性质
专题：导数的概念及应用
分析：利用待定系数法，结合导数和积分的计算即可得到结论．
解答：
解：设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），
∵图象过点（1，0），∴f（1）=a+b+c=0，①
函数的导数为f′（x）=2ax+b，
则f′（1）=2a+b=2 ②
f（x）dx=
（ax2+bx+c）dx=（
ax3+
bx2+cx）|
=
a+
b+c=0 ③，
由①②③解得a=3，b=-4，c=1，
则f（x）=3x2-4x+1．
∵图象过点（1，0），∴f（1）=a+b+c=0，①
函数的导数为f′（x）=2ax+b，
则f′（1）=2a+b=2 ②
| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
1 0 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
由①②③解得a=3，b=-4，c=1，
则f（x）=3x2-4x+1．
点评：本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法，结合导数和积分的计算，是解决本题的关键．
练习册系列答案
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