Question

已知函数f（x）=2x³-3x．
（Ⅰ）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值；
（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导并令导数为0，从而求出极大值与端点时的函数值，从而得到最大值；
（Ⅱ）设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解．

解答： 解：（Ⅰ）令f′（x）=6x²-3=0解得，x=±

2

2

，
则f（x）在x=-

2

2

时取得极大值，
∵f（-

2

2

）=

2

，f（1）=2-3=-1，
则f（x）在区间[-2，1]上的最大值为

2

．
（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x，2x³-3x），
则

2x3-3x-t

x-1

=6x²-3，
化简得，4x³-6x²+3+t=0，
令g（x）=4x³-6x²+3+t，
则令g′（x）=12x（x-1）=0，
则x=0，x=1．
g（0）=3+t，g（1）=t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，-3＜t＜-1．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了斜率的表示方法，用到函数零点个数的判断，属于难题．