Question

已知函数f（x）=x³-2ax²+bx+c．
（Ⅰ）当c=0时，f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）当f（x）无极值时，a，b要满足什么条件？
（Ⅲ）当a=

3

2

，b=-9时，f（x）在点A，B处有极值，O为坐标原点，若A，B，O三点共线，求c的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当c=0时，函数f（x）=x³-2ax²+bx．依题意可得f（1）=3，f'（1）=1，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）求出导数，由条件可令判别式不大于0，解出即可；
（Ⅲ）当a=

3

2

，b=-9时时，f'（x）=3x²-6x-9，列表得到，当x=-1时，f（x）_极大值=5+c；当x=3时，f（x）_极小值=-27+c．又由A，B，O三点共线，
则得到k_OA=k_OB，进而得到c的值．

解答： 解：（Ⅰ） 当c=0时，f（x）=x³-2ax²+bx．
则f'（x）=3x²-4ax+b
由于f（x）的图象在点（1，3）处的切线平行于直线y=x+2，
可得f（1）=3，f'（1）=1，
即

3-4a+b=0 1-2a+b=3

，
解得

a=2 b=6

；
（Ⅱ）函数f（x）=x³-2ax²+bx+c的导数f′（x）=3x²-4ax+b，
当f（x）无极值时，则判别式△≤0，即16a²-12b≤0，
故a，b要满足4a²≤3b；
（Ⅲ）当a=

3

2

，b=-9时，f（x）=x³-3x²-9x+c．
所以f'（x）=3x²-6x-9=3（x-3）（x+1）
令f'（x）=0，解得x₁=3，x₂=-1．
当x变化时，f'（x），f（x）变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	5+c	↘	-27+c	↗

所以当x=-1时，f（x）_极大值=5+c；当x=3时，f（x）_极小值=-27+c．
不妨设A（-1，5+c），B（3，-27+c）
因为A，B，O三点共线，所以k_OA=k_OB．
即

5+c

-1

=

c-27

3

，解得c=3．
故所求c值为3．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值的关系，属于中档题．