Question

已知

a

=（

3

sinx，m+cosx），

b

=（cosx，-m+cosx），且f（x）=

a

•

b

，其中m为常数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈R，求f（x）的递增区间；
（3）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）的最小值是-4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．

Answer 1

考点：平面向量的综合题

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知得f（x）=

3

sinxcosx+cos²x-m²，由此能求出f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2．
（2）f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2的增区间满足-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，由此能求出f（x）的递增区间．
（3）由已知得f（-

π

6

）=sin（-

π

6

）+

1

2

-m2=-m²=-4，解得m²=4，由此能求出当x=

π

6

时，f（x）_max=f（

π

6

）=sin

π

2

+

1

2

-4=-

5

2

．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

sinx，m+cosx），

b

=（cosx，-m+cosx），且f（x）=

a

•

b

，
∴f（x）=

3

sinxcosx+cos²x-m²
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

-m2
=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m2，
∴f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2．
（2）f(x)=sin(2x+

π

6

)+

1

2

-m2的增区间满足：
-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z，
∴f（x）的递增区间为[-

π

3

+kπ，

π 6

+kπ](k∈Z)，k∈Z．
（3）∵当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，f（x）的最小值是-4，
∴f（-

π

6

）=sin（-

π

6

）+

1

2

-m2=-m²=-4，
解得m²=4，
当x=

π

6

时，f（x）_max=f（

π

6

）=sin

π

2

+

1

2

-4=-

5

2

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查函数的增区间的求法，考查函数的最大值的求法，是中档题，解题时要注意向量知识的合理运用．