Question

4．△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知边c=2，且asinA-asinB=2sinC-bsinB．
（1）若sinC+sin（B-A）=sin2A，求△ABC的面积；
（2）记AB边的中点为M，求|CM|的最大值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosC，将得出的等式代入计算求出cosC的值，即可确定出角C；
（2）由$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，⇒${\overrightarrow{CM}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}+{b}^{2}+ab）$
又a²+b²=ab+4，即可求得CM|的最大值．

解答 解：因为a=2，故asinA-asinB=2sinC-bsinB?asinA-asinB=csinC-bsinB⇒a²+b²-c²=ab，
由余弦定理可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{1}{2}$；
（1）sinC+sin（B-A）=sin2A⇒sin（A+B）+sin（B-A）=2sinAcosA⇒sinBcosA=2sinAcosA，
即cosA=0或sinB=sinA⇒A=90°或A=B
当A=90°时，B=30°，b=c$•tan3{0}^{0}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，△ABC的面积s=$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
当A=B时，△ABC为等边三角形，s=$\frac{1}{2}×2×2×sin6{0}^{0}=\sqrt{3}$；
（2）由于AB边的中点为M，故$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，⇒${\overrightarrow{CM}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}）$=$\frac{1}{4}（{a}^{2}+{b}^{2}+ab）$
因为c=2，C=60°，故由余弦定理知，a²+b²=ab+4，于是${\overrightarrow{CM}}^{2}=\frac{1}{2}ab+1$，而4+ab=a²+b²≥2ab，∴ab≤4，
故${\overrightarrow{CM}}^{2}≤3$，∴|CM|的最大值为$\sqrt{3}$（当且仅当a=b=c=2时取等）．

点评 本题考查了三角恒等变形，正余弦定理，考查了基本不等式、计算能力．属于中档题．