Question

16．如图，已知△ABC关于AC边的对称图形为△ADC，延长BC边交AD于点E，且AE=5，DE=2，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$．
（1）求BC边的长；
（2）求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）由对称性得$tan∠BAE=\frac{2tan∠BAC}{{1-{{tan}^2}∠BAC}}=\frac{4}{3}$，所以$cos∠BAE=\frac{3}{5}$．由余弦定理得 BE，再根据角平分线的性质，可得$BC=\frac{{7\sqrt{2}}}{3}$．
（2）cos∠ACB=-cos（∠BAC+B）=$sinBsin∠BAC-cosBcos∠BAC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

解答 解：（1）因为$tan∠BAC=\frac{1}{2}$，△ABC关于AC边的对称图形为△ADC，所以∠BAE=2∠BAC，
即$tan∠BAE=\frac{2tan∠BAC}{{1-{{tan}^2}∠BAC}}=\frac{4}{3}$，所以$cos∠BAE=\frac{3}{5}$．
因为AB=AD=AE+DE=5+2=7，
所以BE²=AB²+AE²-2AB•AEcos∠BAE=49+25-42=32，
所以$BE=4\sqrt{2}$，又AC是∠BAD的角平分线，∴$\frac{BC}{CE}=\frac{AB}{AE}=\frac{7}{5}$，可得$BC=\frac{{7\sqrt{2}}}{3}$．
（2）由（1）知$BE=4\sqrt{2}$，
所以$cosB=\frac{{A{B^2}+B{E^2}-A{E^2}}}{2AB•BE}=\frac{49+32-25}{{2×7×4\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$sinB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，因为$tan∠BAC=\frac{1}{2}$，
所以$sin∠BAC=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cos∠BAC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
所以cos∠ACB=-cos（∠BAC+B）=$sinBsin∠BAC-cosBcos∠BAC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查了三角恒等变形，角平分线性质，余弦定理，考查了计算能力，属于中档题．