Question

12．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-1．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求函数f（x）在区间[m，2m]上的最大值；
（3）证明：对?n∈N*，不等式ln（1+n）^e＜n+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用导函数的符号求解函数的单调区间即可．
（2）结合（1）通过m与e的大小讨论函数的单调性求解函数的最大值．
（3）由（1）知$f（x）≤f（e）=\frac{1}{e}-1$即$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}⇒lnx≤\frac{1}{e}x$当且仅当x=e时等号成立，取$x=\frac{1+n}{n}$，利用对数运算法则推出结果即可．

解答 （本题满分13分）
解：（1）函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$-1的定义域为：x＞0；
由函数可得$f'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}＞0$解得0＜x＜e，
∴f（x）在（0，e）上单调递增，（e，+∞）上单调递减；…（3分）
（2）①当2m≤e即$0＜m≤\frac{e}{2}$时，函数f（x）在区间[m，2m]上单调递增，
∴$f{（x）_{max}}=f（{2m}）=\frac{ln2m}{2m}-1$；…（5分）
②当m≤e＜2m即$\frac{e}{2}＜m≤e$时，函数f（x）在区间（m，e）上单调递增，（e，2m）上单调递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（e）=\frac{lne}{e}-1=\frac{1}{e}-1$；…（7分）
③当m＞e时，函数f（x）在区间[m，2m]上单调递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（m）=\frac{lnm}{m}-1$；…（9分）
（3）由（1）知$f（x）≤f（e）=\frac{1}{e}-1$即$\frac{lnx}{x}≤\frac{1}{e}⇒lnx≤\frac{1}{e}x$当且仅当x=e时等号成立
取$x=\frac{1+n}{n}$得$ln\frac{1+n}{n}＜\frac{1}{e}•\frac{1+n}{n}=\frac{1}{e}•（{1+\frac{1}{n}}）$…（11分）
∴$ln\frac{2}{1}+ln\frac{3}{2}+…+ln\frac{1+n}{n}＜\frac{1}{e}•（{n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}}）$．
即$ln\frac{1+n}{1}＜\frac{1}{e}•（{n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}}）$，
∴$eln（{1+n}）＜n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}⇒ln{（{1+n}）^e}＜n+1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$…（13分）
（其他证明方法相应给分）

点评 本题考查函数与导数的应用，函数的最值以及转化思想的应用，是难题．