Question

17．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=1-$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，记数列{a_n}的前n项之积为T_n，则T₂₀₁₈=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 依题意，数列{a_n}是以4为周期的函数数列，可求得a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₁₃•a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆=1，从而可得答案．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=1-$\frac{2}{{a}_{n}+1}$，
∴a₂=$1-\frac{2}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，a₃=$1-\frac{2}{\frac{1}{3}+1}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$1-\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}$=-3，a₅=$1-\frac{2}{-3+1}$=2，…
即a_n+4=a_n，
∴数列{a_n}是以4为周期的函数，
又a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=1，T_n为数列{a_n}的前n项之积，
∴T₂₀₁₈=（a₁•a₂•a₃•a₄）•（a₅•a₆•a₇•a₈）…（a₂₀₁₃•a₂₀₁₄•a₂₀₁₅•a₂₀₁₆）•a₂₀₁₇•a₂₀₁₈=a₁•a₂=$2×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查数列的递推式的应用，突出考查数列的求和，分析得到数列{a_n}是以4为周期的函数数列，且a₁•a₂•a₃•a₄=1是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．