Question

2．O是△ABC所在平面上的一点．内角A．B．C所对的边分别是3、4、5，且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$．若点P在△ABC的边上．则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的取值范围为[-5，10]．

Answer 1

分析 O为△ABC的内心，建立平面坐标系，分三种情况讨论$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的取值范围．

解答 解：∵3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴O是Rt△ABC的内心，
以CB，CA为x轴，y轴建立平面坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，4），O（1，1），
∴$\overrightarrow{OA}$=（-1，3），$\overrightarrow{BA}$=（-3，4），$\overrightarrow{OB}$=（2，-1）．
（1）若P在线段BC上，设P（x，0），0≤x≤3，则$\overrightarrow{OP}$=（x-1，-1），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=1-x-3=-x-2，
∴-5≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤-2，
（2）若P在线段AC上，设P（0，x），0≤x≤4，则$\overrightarrow{OP}$=（-1，x-1），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=1+3（x-1）=3x-2，
∴∴-2≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤10．
（3）若P在线段AB上，设$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{BA}$=（-3λ，4λ），0≤λ≤1，
则$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}$=（2-3λ，4λ-1），
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$=3λ-2+3（4λ-1）=15λ-5，
∴-5≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤10．
综上，-5≤$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$≤10，
故答案为：[-5，10]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，转化为坐标运算是常用方法，属于中档题．