Question

7．在平面直角坐标系中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）（0$≤θ≤\frac{π}{2}$）．
（1）若$\overrightarrow{AB}$$⊥\overrightarrow{a}$且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，求向量$\overrightarrow{OB}$；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，常数k＞0，当tsinθ取最大值为4时，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的点的坐标写出向量的坐标，根据两个向量垂直数量积为零，得到一个关于变量的方程，题目另一个条件是两个向量模长之间的关系，列出方程解出结果．
（2）根据向量共线的充要条件，写出变量之间的关系式，根据二次函数的最值特点得到结果，求出变量的值，写出向量的数量积．

解答 解：（1）点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）（0$≤θ≤\frac{π}{2}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（n-8，t），
∵$\overrightarrow{AB}$$⊥\overrightarrow{a}$，
∴n=2t+8，
∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}$|$\overrightarrow{OA}$|，
∴（2t）²+t²=5×64，
解得t=±8，
当t=8时，n=24；当t=-8时，n=-8，
∴$\overrightarrow{OB}$=（24，8）或$\overrightarrow{OB}$=（-8，-8），
（2）$\overrightarrow{AC}$=（ksinθ-8，t），
∵向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，
∴t=16-2ksinθ，
∴f（θ）=tsinθ=（-2ksinθ+16）sinθ=-2k（sinθ-$\frac{4}{k}$）²+$\frac{32}{k}$，
∵0≤θ≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤sinθ≤1，
若0＜k＜4时，则$\frac{4}{k}$＞1，
当sinθ=1时，tsinθ取最大值16-2k，由16-2k=4，解得k=6，舍去．
当k≥4时，0＜$\frac{4}{k}$≤1，当sinθ=$\frac{k}{4}$时，tsinθ取最大值为$\frac{32}{k}$，由$\frac{32}{k}$=4，解得k=8，
此时，θ=$\frac{π}{6}$，$\overrightarrow{OC}$=（4，8），
故$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OC}$=（8，0）•（4，8）=32

点评 要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用．要学生发现解题方法和思路的形成过程，总结解题规律．学生要搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力．