Question

13．设函数f（x）=|2x+3|+|x-1|．
（1）解不等式f（x）＞4；
（2）若?x∈（-∞，-$\frac{3}{2}$），不等式a+1＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的分段函数的形式，通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）x＜-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-3x-2＞$\frac{5}{2}$，问题转化为a+1≤$\frac{5}{2}$，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|2x+3|+|x-1|，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-2，x＜-\frac{3}{2}}\\{x+4，-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{3x+2，x＞1}\end{array}\right.$，
f（x）＞4?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-2＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}≤x≤1}\\{x+4＞4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{3x+2＞4}\end{array}\right.$
?x＜-2或0＜x≤1或x＞1，
综上，不等式f（x）＞4的解集是：（-∞，-2）∪（0，+∞）；
（2）由（1）得：x＜-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-3x-2，
∵x＜-$\frac{3}{2}$时，f（x）=-3x-2＞$\frac{5}{2}$，
∴a+1≤$\frac{5}{2}$，解得：a≤$\frac{3}{2}$，
∴实数a的范围是（-∞，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．