Question

18．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$的取值范围是[-4，6]．

Answer 1

分析 依题意，设$\overrightarrow{EC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{CF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（-1≤μ≤0），由$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$，可求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$）=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{BC}}^{2}$=9λ+4μ；再由0≤λ≤$\frac{2}{3}$，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．

解答 解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，
∴$\overrightarrow{EC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤$\frac{2}{3}$），
$\overrightarrow{CF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（-1≤μ≤0），
又$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{CF}$）
=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$）•（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$）
=λ${\overrightarrow{AB}}^{2}$+μ${\overrightarrow{BC}}^{2}$
=9λ+4μ．
∵0≤λ≤$\frac{2}{3}$，∴0≤9λ≤6①，
又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，
①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$的取值范围是[-4，6]，
故答案为：[-4，6]．

点评 本题考查平面向量数量积的坐标运算，设$\overrightarrow{EC}$=λ$\overrightarrow{AB}$（0≤λ≤$\frac{2}{3}$），$\overrightarrow{CF}$=μ$\overrightarrow{BC}$（-1≤μ≤0），并求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．