Question

8．当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取n名市民，按年龄情况进行统计的得到频率分布表和频率分布直方图如下：

组数	分组（单位：岁）	频数	频率
1	[20，25）	5	0.05
2	[25，30）	20	0.20
3	[30，35）	a	0.35
4	[35，40）	30	b
5	[40，45]	10	0.10
合计		n	1.00

（1）求出表中的a，b，n的值，并补全频率分布直方图；
（2）媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在[30，40）的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在[35，40）的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：n=$\frac{5}{0.05}$=100，可得a=100×0.35，b=$\frac{30}{100}$．
（2）按年龄采用分层抽样的方法在[30，35），（35，40]分别有m，n名，可得：$\frac{20}{100}$=$\frac{m}{35}$=$\frac{n}{30}$，解得m，n，可得年龄在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2．利用P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}{∁}_{7}^{2-k}}{{∁}_{13}^{2}}$，即可得出分布列与数学期望．

解答 解：（1）由题意可得：n=$\frac{5}{0.05}$=100，∴a=100×0.35=35，b=$\frac{30}{100}$=0.3．
如图所示，
（2）按年龄采用分层抽样的方法在[30，35），
（35，40]分别有m，n名，可得：$\frac{20}{100}$=$\frac{m}{35}$=$\frac{n}{30}$，
解得m=7，n=6，
∴年龄在[30，40）共有13名．故ξ的可能取值为0，1，2．利用P（ξ=k）=$\frac{{∁}_{6}^{k}{∁}_{7}^{2-k}}{{∁}_{13}^{2}}$，可得：P（ξ=0）=$\frac{7}{26}$，
P（ξ=1）=$\frac{7}{13}$，P（ξ=2）=$\frac{5}{26}$．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{7}{26}$	$\frac{7}{13}$	$\frac{5}{26}$

Eξ=0×$\frac{7}{26}$+1×$\frac{7}{13}$+2×$\frac{5}{26}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查了超几何分布列及其数学期望、频率分布直方图的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．