Question

16．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2$\sqrt{3}$，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知b=$\sqrt{3}$，c=1，a²=b²+c²=4，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）由“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”设直线AM的方程，代入椭圆方程，由韦达定理求得M点坐标，分类讨论，当MF⊥x轴时，求得k的值，即可求得N和E点坐标，求得点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1，则EF平分∠MFB，当k≠$\frac{1}{2}$时，即可求得直线MF的斜率及方程，利用点到直线的距离公式，求得$d=\frac{{|8k+2k（4{k^2}-1）-4k|}}{{\sqrt{16{k^2}+{{（4{k^2}-1）}^2}}}}$=|BE|，则点B关于直线EF的对称点在直线MF上．

解答 解：（Ⅰ）由题意得2b=2$\sqrt{3}$，则b=$\sqrt{3}$，c=1，则a²=b²+c²=4，则a=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$； 
（Ⅱ）证明：“点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分∠MFB”．
设直线AM的方程为y=k（x+2）（k≠0），则N（2，4k），E（2，2k）．…（7分）
设点M（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
由韦达定理可知-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，则x₀=$\frac{-8{k}^{2}+6}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
①当MF⊥x轴时，x₀=1，此时k=±$\frac{1}{2}$．
则M（1，±$\frac{3}{2}$），N（2，±2），E（2，±1）．
此时，点E在∠BFM的角平分线所在的直线y=x-1或y=-x+1，
即EF平分∠MFB．  …（10分）
②当k≠$\frac{1}{2}$时，直线MF的斜率为k_MF=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
所以直线MF的方程为4kx+（4k²-1）y-4k=0．      …（11分）
所以点E到直线MF的距离$d=\frac{{|8k+2k（4{k^2}-1）-4k|}}{{\sqrt{16{k^2}+{{（4{k^2}-1）}^2}}}}$=$\frac{{|4k+2k（4{k^2}-1）|}}{{\sqrt{{{（4{k^2}+1）}^2}}}}$=$\frac{{|2k（4{k^2}+1）|}}{{|4{k^2}+1|}}$=|2k|=|BE|．
即点B关于直线EF的对称点在直线MF上，
综上可知：点B关于直线EF的对称点在直线MF上．  …（14分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，点到直线的距离公式，考查分类讨论思想，属于中档题．