在直角坐标系xOy中.直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=t}\end{array}\right.$.在以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴的极坐标系中.曲线C的极坐标方程为ρ2(3+sin2θ)=12．(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程,(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A.B.交x轴于点N.点A� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ²（3+sin²θ）=12．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于不同的两点A、B，交x轴于点N，点A在x轴的上方，M为弦AB的中点，求|AN|-|BN|+|MN|+|AN|•|BN|．

分析（1）利用三种方程的转化方法，即可求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$（m为参数），代入椭圆方程，整理可得7m²+6$\sqrt{2}$m-18=0，利用参数的几何意义，可得结论．

解答解：（1）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t为参数），普通方程为x+y+1=0；
曲线C的极坐标方程为ρ²（3+sin²θ）=12，直角坐标方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}m}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}m}\end{array}\right.$（m为参数），代入椭圆方程，整理可得7m²+6$\sqrt{2}$m-18=0，
设A，B对应的参数为m₁，m₂，则m₁+m₂=-$\frac{6\sqrt{2}}{7}$，m₁m₂=-$\frac{18}{7}$，
∴M对应的参数为-$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，∴M（-$\frac{4}{7}$，$\frac{3}{7}$），
∵N（-1，0），∴|MN|=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$
∴|AN|-|BN|+|MN|+|AN|•|BN|=$\sqrt{\frac{72}{49}+\frac{72}{7}}$+$\frac{3\sqrt{2}}{7}$+$\frac{18}{7}$=6+$\frac{3\sqrt{2}}{7}$．