Question

2．在三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=AP=2，∠ABC=60°，则此三棱锥的外接球的表面积为$\frac{28π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得此三棱锥的外接球，是以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，
分别求出棱锥底面半径r和球心距d，可得球的半径R，即可求出三棱锥P-ABC外接球表面积．

解答 解：三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，
AB=AC=AP=2，∠ABC=60°，
∴△ABC是边长为2的正三角形，
∴此三棱锥的外接球，是以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球；
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，
故球的半径R=$\sqrt{{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$
∴外接球的表面积为4πR²=4π•${（\sqrt{\frac{7}{3}}）}^{2}$=$\frac{28π}{3}$．
故答案为：$\frac{28π}{3}$．

点评 本题考查了球内接多面体的应用问题，正确求出球的半径R是解题的关键．