Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0，a、b为常数）满足f（1-x）=f（1+x），且方程f（x）=x有两相等实根．
（1）在区间x∈[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．
（2）是否存在实数m和n（m＜n ），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在求出m和n的值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的定义域及其求法,函数的值域,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（1-x）=f（1+x），得函数的对称轴为x=1，又方程f（x）=x有两相等实根，即ax²+（b-1）x=0有两相等实根，利用△=0可得关于a，b的方程，由此可求出a，b的值．区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，转化成二次函数在区间[-1，1]上恒为正，借助二次函数的性质转化即可求参数．
（2）借助函数的单调性确定出函数在[m，n]上的单调性，找到区间中那个自变量的函数值是3m，3n，由此建立方程求解，若能解出值，说明存在，否则不存在．

解答： 解：（1）∵f（1-x）=f（1+x），∴f（x）的对称轴为x=1，
即-

b

2a

=1
即b=-2a．
∵f（x）=x有两相等实根，∴ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有等根0，
∴b=1，a=-

1

2

∴f（x）=-

1

2

x2+x
在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，
即-

1

2

x2+x＞2x+m在区间[-1，1]上恒成立
即x²+2x+2m＜0在区间[-1，1]上恒成立
故有

1-2+2m＜0 1+2+2m＜0

，
解得m＜-

3

2

，
∴当m＜-

3

2

时，在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方．
（2）f（x）=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

   故3n≤

1

2

，故m＜n≤

1

6

  又函数的对称轴为x=1，故f（x）在[m，n]单调递增
则有

f(m)=3m f(n)=3n

  解得

m=0 n=0

或

m=-4 n=-4

，
又m＜n，
∴m=-4，n=0．

点评：本题考点是二次函数的性质考查综合利用函数的性质与图象转化解题，属于难题．