Question

已知向量

m

=(2cos2x，

3

)，

n

=(1，sin2x），函数f(x)=

m

•

n

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S_△ABC为△ABC的面积，且f（C）=3，a=

3

，c=1，求 a＞b时的S_△ABC值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）运用数量积的坐标形式，以及二倍角公式和两角和的正弦公式，三角函数的周期公式即可；
（2）由f（C）=3，求出C，再运用余弦定理结合a=

3

，c=1，a＞b求出b，最后运用面积公式S=

1

2

absinC即可．

解答： 解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=(2cos2x，

3

)•(1，sin2x)
=

3

sin2x+2cos2x=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由题设及（1）可知 f(C)=2sin(2C+

π

6

)+1=3，
∴sin(2C+

π

6

)=1，
∵C是三角形的内角，∴2C+

π

6

∈(

π

6

，

13π

6

)，
∴2C+

π

6

=

π

2

，即 C=

π

6

．
又a=

3

，c=1，
∴在△ABC中，由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得1=3+b2-2

3

×b×

3

2

，∴b²-3b+2=0，
∴b=1或b=2．∵a＞b，∴b=1，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

•

3

•1•

1

2

=

3

4

．

点评：本题主要考查三角恒等变换和解三角形的知识，熟记三角公式和正弦、余弦定理以及三角形的面积公式是解题的关键．