Question

已知命题P：方程x²+x+m=0有一个正根和一个负根；命题Q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实数根，若P或Q为真，P且Q为假，求实数m的范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，求解命题P和命题Q都是真命题时，相应的m的取值范围，然后，根据P或Q为真，P且Q为假，则两个命题一真一假，分两种情形进行讨论，最后求解范围即可．

解答： 解：对于命题P：
∵方程x²+x+m=0有一个正根和一个负根，
∴

△=1-4m＞0 m＜0

，
∴m＜0，
对于命题Q：
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0无实数根，
∴△=[4（m-2）]2-4×4×1＜0，
∴1＜m＜3，
∵P或Q为真，P且Q为假，
∴命题P和命题Q必一真一假，
①当P真Q假时：
即：

m＜0 m≤1或m≥3

，
∴m＜0，
②当P假Q真时：
即：

m≥0 1＜m＜3

，
∴1＜m＜3，
综上，实数m的范围（-∞，0）∪（1，3）．

点评：本题重点考查了复合命题的真假判断，同时侧面考查了一元二次方程的根的分布等知识，考查比较综合，属于中档题．