Question

5．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥CD，平面CDFE⊥平面ABCD，且AD=3EF，DE=DF，点G为EF中点．
（Ⅰ）求证：DG⊥BC；
（Ⅱ）M是线段BD上一点，若GM∥平面ADF，求DM：MB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可证DG⊥EF，又EF∥DC，可证DG⊥DC，由面面垂直证明DG⊥平面ABCD，即可证明DG⊥BC．
（Ⅱ）过M作MN∥AB交AD于N，连接FN，证明EG∥MN，GM∥FN，可得四边形FGMN是平行四边形，由已知可求$\frac{DM}{DB}=\frac{1}{6}$，进而可求$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{5}$．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）证明：∵DE=DF，G是EF的中点，
∴DG⊥EF，
又∵EF∥DC，
∴DG⊥DC，…（2分）
又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，
∴DG⊥平面ABCD，
又∵BC在平面ABCD内，
∴DG⊥BC．…（6分）
（Ⅱ）过M作MN∥AB交AD于N，连接FN，
∵EG∥DC，DC∥AB，
∴EG∥MN，
又∵GM∥平面ADF，
∴GM∥FN，
∴四边形FGMN是平行四边形，…（9分）
∴$MN=FG=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{6}AB$，
∵$\frac{DM}{DB}=\frac{1}{6}$，
∴$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{5}$．…（12分）

点评 本题考查了空间几何体的性质，空间直线的位置关系，直线平面的平行关系，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．