Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的焦距为2c（c＞0），以原点O为圆心，a为半径作圆，过点$（\frac{a^2}{c}\;，\;0）$作该圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先根据题意画出图形，如图，由切线PA、PB互相垂直，得出△OAP是等腰直角三角形，从而根据直角三角形的边的关系建立a，c之间的关系式，最后解得离心率即可．

解答 解：如图，切线PA、PB互相垂直，
又半径OA垂直于PA，
∴△OAP是等腰直角三角形，
$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\sqrt{2}$a．
解得：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
则离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查数形结合思想，属于中档题．