Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R），F（x）=

f(x)，x≥0 -f(-x)，x＜0

．
（1）若f（x）的最小值为f（-1）=0，且f（0）=1，求F（-1）+f（2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，求b的取值范围；
（3）若a=1，b=-2，c=0，且y=F（x）与y=-t的图象在闭区间[-2，t]上恰有一个公共点，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由f（0）=1求出c的值，结合f（x）的最小值为f（-1）=0，可知对称轴为x=-1，由此联立方程组求得a，b的值，则F（x）可求，进一步求得F（-1）+f（2）的值；
（2）把a=1，c=0代入f（x），|f（x）|≤1转化为-1≤x²+bx≤1对x∈[0，1]恒成立，然后分x=0和x∈（0，1]求解b的取值范围；
（3）由题意知t＞-2，然后对t分类借助于二次函数根的范围求解实数t的取值范围．

解答： 解：（1）由f（0）=1，得c=1，再由f（-1）=0，得-

b

2a

=-1，a-b+1=0，
∴a=1，b=2，f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴F(x)=

(x+1)2，x≥0 -(x-1)2，x＜0

，
则F（2）+F（-1）=5；
（2）∵a=1，c=0，
∴f（x）=x²+bx，
∵|f（x）|≤1对x∈[0，1]恒成立，
∴-1≤x²+bx≤1对x∈[0，1]恒成立，
当x=0时，f（0）=0，
∴b∈R；
当x∈（0，1]时，-1≤x²+bx≤1对x∈（0，1]恒成立等价于

b≤ 1 x -x b≥-(x+ 1 x )

恒成立，
∴b∈[-2，0]，
综上，b的取值范围是[-2，0]；
（3）由题意知，t＞-2，F(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
当t=0时，不合题意；
当t＜0时，由F（x）=-t在[-2，t]上恰有一解，
即x²+2x-t=0在[-2，t]上恰有一解，
令g（x）=x²+2x-t，得g（-2）•g（t）≤0，
∵g（-2）=-t＞0，∴g（t）=t²+t≤0，解得-1≤t＜0，
当t＞1时，不合题意，
当0＜t≤1时，由F（x）=-t在[-2，t]上恰有一解，
即x²-2x+t=0在[-2，t]上恰有一解，
令g（x）=x²-2x+t，得g（-2）•g（t）≤0，
∵g（-2）=8+t＞0，∴g（t）=-t²+t≤0，解得0＜t≤1．
综上，t的取值范围是[-1，0）∪（0，1]．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数解析式的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．