Question

（1）已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）；
（2）若f（x）满足关系式f（x）+2f（

1

x

）=3x，求f（x）的解析式；
（3）f（x+1）=x²+4x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得
（2）由f（x）+2f（

1

x

）=3x①，得到f（

1

x

）+2f（x）=3

1

x

②，由①②构成方程组解得即可．
（3）令t=x+1，则x=t-1，利用换元法，可得函数解析式．

解答： 解：（1）设y=f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴c=1；a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x
∴∴2a=2，a+b=0
解得a=1，b=-1
函数f（x）的表达式为f（x）=x²-x+1
（2）：f（x）+2f（

1

x

）=3x①，
令x=

1

x

，则
f（

1

x

）+2f（x）=3

1

x

②，
由①②构成方程组解得，
函数f（x）的表达式为f（x）=

2

x

-x，
（3）解：令t=x+1，
则x=t-1，
∵f（x+1）=x²+4x+1
∴f（t）=（t-1）²+4（t-1）+1=t²+2t-2，
∴f（x）=x²+2x-2．

点评：本题考查利用待定系数法，方程组法，换元法求函数的解析式，属于基础题．