Question

已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点．
（1）求函数f（x）在[-2，2]上的最值；
（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+3x+8，求g（x）的极值点．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求函数的导函数，然后根据f'（1）=0，f'（-1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值，f（x），再根据导数求出极值．
（2）利用导数求出函数的极值点即可．

解答： 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx，得f'（x）=3x²+2ax+b．
∵1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
∴f′（x）=3x²-3，
当f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，
∴函数f（x）在[-2，-1）和[1，2]上为增函数，在[-1，1]上为减函数，
∴f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
故最大值为2，最小值为-2．
（2）∵g′（x）=f（x）+3x+8=x³-3x+3x+8=x³+8，
令g′（x）=0，解得x=-2，
当g′（x）＞0时，即x＞-2时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即x＜-2时，函数单调递减，
∴当x=-2时，函数有极小值，
故g（x）的极值点为x=2

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于中档题．