Question

已知命题p：实数m满足方程

x2

m-3a

+

y2

m-4a

=1（a＞0）表示焦点在x轴上的双曲线，命题q：实数m满足方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：根据双曲线和椭圆的简单性质，求出命题p，q中m的取值范围，进而结合充要条件的定义，可得答案．

解答： 解：若方程

x2

m-3a

+

y2

m-4a

=1（a＞0）表示焦点在x轴上的双曲线，
则m-3a＞0，且m-4a＜0，（a＞0），
解得3a＜m＜4a，
即p：3a＜m＜4a．
若方程

x2

m-1

+

y2

2-m

=1表示焦点在y轴上的椭圆，
则2-m＞m-1＞0，
解得1＜m＜

3

2

，
即q：1＜m＜

3

2

．
若q是p的必要不充分条件，
则p⇒q，
从而有：

3a≥1 4a≤ 3 2

，
解得

1

3

≤a≤

3

8

点评：判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．