Question

8．已知O为原点，点P为直线2x+y-2=0上的任意一点．非零向量$\overrightarrow{a}$=（m，n）．若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{a}$恒为定值，则$\frac{m}{n}$=2．

Answer 1

分析 设点P（x，y），由P为直线2x+y-2=0上的任意一点，用x表示$\overrightarrow{OP}$，写出$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{a}$的解析式；
根据$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{a}$恒为定值，x的系数为0，求出m、n的关系，可得$\frac{m}{n}$的值．

解答 解：设点P（x，y），
∵点P为直线2x+y-2=0上的任意一点，
∴y=2-2x，
∴$\overrightarrow{OP}$=（x，2-2x）；
又非零向量$\overrightarrow{a}$=（m，n），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{a}$=mx+n（2-2x）=（m-2n）x+2n恒为定值，
∴m-2n=0，
∴$\frac{m}{n}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义与应用问题，是基础题．