Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$-2x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当0＜a≤$\frac{5}{2}$时，求函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$，得f'（x）=x²+x-2=（x+1）（x-2），令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=1，f（x），f'（x）的情况列表讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$，得$f（-2）=\frac{13}{3}$．求出函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值为max{f（-2），f（a）}，由$f（a）≤f（\frac{5}{2}）=\frac{13}{3}$，知$max\{f（-2），f（a）\}=f（-2）=\frac{13}{3}$；再求出函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值为max{f（-a），f（a）}，max{f（-a），f（a）}=f（-a）=$-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．由此能求出函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$得f'（x）=x²+x-2=（x+1）（x-2），
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=1，f（x），f'（x）的情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大	↘	极小	↗

所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（1，+∞），单调减区间为（-2，1）．
（Ⅱ）由$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$可得$f（-2）=\frac{13}{3}$．
当-a＜-2即$2≤a≤\frac{5}{2}$时，由（Ⅰ）可得f（x）在[-a，-2）和（1，a]上单调递增，在（-2，1）上单调递减，
所以，函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值为max{f（-2），f（a）}，
又由（Ⅰ）可知$f（a）≤f（\frac{5}{2}）=\frac{13}{3}$，
所以$max\{f（-2），f（a）\}=f（-2）=\frac{13}{3}$；
当-a≥-2，a≤1，即0＜a≤1时，由（Ⅰ）可得f（x）在[-a，a]上单调递减，f（x）在[-a，a]上的最大值为$f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
当-2≤-a，a＞1，即1＜a≤2时，由（Ⅰ）可得f（x）在[-a，1）上单调递减，在（1，a]上单调递增，
所以，函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值为max{f（-a），f（a）}，
法1：因为$f（-a）-f（a）═-\frac{2}{3}a（{a^2}-6）＞0$，
所以$max\{f（-a），f（a）\}=f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
法2：因为-2≤-a＜-1，1＜a≤2
所以由（Ⅰ）可知$f（-a）＞f（-1）=\frac{19}{6}$，$f（a）≤f（2）=\frac{10}{6}$，
所以f（-a）＞f（a），
所以$max\{f（-a），f（a）\}=f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
法3：设$g（x）=f（-x）-f（x）=-\frac{2}{3}{x^3}+4x$，则g'（x）=-2x²+4，g（x），g'（x）的在[1，2]上的情况如下表：

x	1	$（1，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$	$（\sqrt{2}，2）$	2
f'（x）		+	0	-
f（x）	$\frac{10}{3}$	↗	极大	↘	$\frac{8}{3}$

所以，当0＜x＜2时，g（x）＞g（0）=0，
所以g（a）=f（-a）-f（a）＞0，即f（-a）＞f（a）
所以max{f（-a），f（a）}=f（-a）=$-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．
综上讨论，可知：
当$2≤a≤\frac{5}{2}$时，函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值为$\frac{13}{3}$；
当0＜a＜2时，函数f（x）在区间[-a，a]上的最大值为$f（-a）=-\frac{a^3}{3}+\frac{a^2}{2}-2a+1$．

点评 本题考查函数的单调性、函数的最值、导数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、分类与整合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．